MATEMATIKA V JENIŠOVO
ÚJEZDĚ
Evžen Neustupný
Původně
publikováno jako:
Neustupný, E. 1978a: Mathematics at Jenišův Újezd. In
Waldhauser,J.: Das keltische Gräberfeld bei Jenišův Újezd in Böhmen 2.
Teplice, 40-66
Komentář
k českému překladu:
V
době, kdy jsem psal tento článek, nebylo ještě pevněji zakotveno používání
termínů "objekt" a "deskriptor" a čtenář anglického
originálu na to musí brát ohled. V tomto českém překladu jsem terminologii
v tomto bodě upravil tak, aby byla v souladu s dnešním územ. Dále jsem
kurzivou zvýraznil některé myšlenky, což vzhledem k primitivnímu způsobu
vydání originální publikace nebylo možné. Jinak jsem ale v textu článku
žádné změny neprováděl.
|
MATEMATIKA V JENIŠOVO
ÚJEZDĚ Evžen Neustupný |
Obsah:
33.1
ZÁKLADNÍ POJMY
33.2. MATEMATICKÉ PRINCIPY VEKTOROVÉ
SYNTÉZY
33.3. NUMERICKÁ
IMPLEMENTACE VEKTOROVÉ SYNTÉZY
33.4. PROBLÉMY JENIŠOVA
ÚJEZDA
LITERATURA
Účelem tohoto článku je prozkoumat laténské pohřebiště v Jenišově Újezdě na základě jeho vlastních dokladů. Zatímco většina přispěvatelů do tohoto sborníku se stěží mohla vyhnout tomu, aby do svých analýz nezahrnula svoji předchozí znalost starší doby železné ve střední Evropě (ať vědomě a hrdě nebo nevědomky), moje vědomí byla téměř dokonalá tabula rasa ; s výjimkou několika velmi obecných ideí jsem před zahájením práce na tomto článku, která začala v lednu 1978 a skončila v březnu téhož roku, nevěděl o laténských pohřebištích prakticky nic.
Měl jsem ovšem prehistorické paradigma a použil jsem ho. Matematika je určitě důležitou součástí tohoto paradigmatu, ale musím znova vyjádřit své přesvědčení, že formalizované metody nemohou samy o sobě paradigma vytvořit. Matematika může rozkvétat v paradigmatu velmi odlišném od mého, jestliže se například užije výlučně pro budování chronologických systémů. Když se snažím pohlížet na pravěk jako na ekonomickou, společenskou a duchovní historii starých komunit, mám tendenci klást mnohem více otázek než je chronologická sekvence hrobů. Není třeba zdůrazňovat, že tento článek není odpovědí na všechny otázky, které považuji za důležité, ale přesto jimi nemohl zůstat neovlivněn.
V mé práci mi velice pomohl Dr Waldhauser, který mi dal k dispozici
tabulky obsahující popis jednotlivých hrobů, a sám připravil popisy spon a
kruhových šperků. Chtěl bych zde zmínit fakt, že moje první analýza Jenišova
Újezda byla provedena před několika léty, kdy jsem se snažil, opět na základě
Waldhauserova materiálu, rekonstruovat soubory typů charakteristických pro
jednotlivé věkové a pohlavní subkultury. Waldhauser mohl tyto výsledky později
použít; lituji, že tato má práce přišla příliš pozdě k tomu, aby použil
moje nové výsledky, které jsou snad poněkud lepší.
33.1.1. DOKLADY. Archeologický doklad [evidence] je jakákoliv pozorovatelná informace, která má vztah k archeologickým objektům. Pozorování nemusí být přímé (prostým okem), může být zprostředkováno různými druhy vědeckých nástrojů. Doklady lze rozdělit do tří tříd: deskriptivní systém, externí evidence a reziduální evidence.
Deskriptivní systém sestává ze souboru objektů, souboru deskriptorů a souboru zobrazení mezi objekty a deskriptory. Je to tedy z matematického hlediska systém, neboť jakékoliv zobrazení lze pojmout jako relaci mezi dvěma množinami. Jako externí označujeme takovou skutečně použitou evidenci, která není součástí deskriptivního systému a je proto vzhledem k němu externí. Externí evidence sestává z informace použité k interpretaci struktur získaných syntézou a z takové informace, kterou nebylo možno zahrnout do deskriptivního systému kvůli zvláštnostem použitých analytických a syntetických metod. Když jsou například aplikovány metody lineární algebry, množství informace obsažené v nominálních deskriptorech nelze použít jinak než jako externí evidenci, neboť nominální proměnné by způsobily nelinearitu vektorových prostorů a tak by zabránily nutným vektorovým operacím (které popíšeme později). Hlavní druhy externí evidence použité v tomto článku jsou následující:
1) informace o věku a pohlaví zemřelých osob
2) informace o prostorovém rozložení objektů a deskriptorů na pohřebišti
3) informace vyplývající z intuitivního studia archeologických objektů prostřednictvím "tradičních" metod.
Všechna informace, která není součástí
ani deskriptivního systému ani externí evidence tvoří třetí skupinu -
reziduální evidenci. Množství jejích prvků je nekonečné.
33.1.2. ANALÝZA A SYNTÉZA, STRUKTURY. Analýza je rozklad objektů studia na skladebné prvky a zjištění vztahů mezi těmito prvky. Analýza obvykle spočívá v definici objektů a jejich částí, nalezení relací a ve statistickém testování jejich významnosti.
Syntéza je skládání objektů vyššího řádu z jejich prvků. Je to duchovní (abstraktní) reprodukce zákonů, které řídí vztahy mezi objekty nebo, jinými slovy, hledání struktur. Struktury jsou abstraktní v tom smyslu, že nemohou být ztotožněny s žádným pozorovatelným objektem. Jejich vytváření je proto ekvivalentní vytváření pojmů. Struktury jsou formální entity, které nemají archeologický nebo historický význam.
Struktury generované prostřednictvím tradičních metod jsou obvykle monotetické, což znamená, že některé jejich prvky jsou buď nutné nebo dostačující k jejich definici (nebo obojí). V každém odvětví archeologie je mnoho příkladů. Na rozdíl od toho prvky polytetické struktury (generované metodami, které zde budou popsány) mají jenom určitou míru pravděpodobnosti, že jsou s ní spojeny. To znamená, že nejsou ani nutné ani dostačující k tomu, aby jakýkoliv objekt byl struktuře podřízen. Použijme příklad, který bude diskutován později v tomto článku. Spony typu +4/6 lze popsat následující tabulkou.
Ražená výzdoba je jediným objektem, který se objevuje na všech sponách typu +4/6 a mohla by tedy být považována za nutnou podmínku přiřazení nějaké spony této struktuře. Žebrovaný lučík a zdobený zachycovač jsou velmi typické, ale každý chybí na jedné ze spon; obloukovitý lučík a vnitřní tětiva se ve struktuře objevují jen jednou. Všechny objekty jsou charakteristické rovněž pro jiné typy spon a nemohou být proto považovány za atributy dostačující pro přiřazení kterékoliv spony typu +4/6. Přesto ale existuje určité jádro sestávající z žebrovaného lučíku, zdobeného zachycovače a ražené výzdoby, které se vyskytuje na 5 z našich 7 subjektů, zatímco dva zbývající subjekty mají každý alespoň dva prvky z tohoto jádra.
1.3. INTERPRETACE A MODELY. Abstraktním strukturám generovaným syntézou se dostává významu v procesu interpretace, která je srovnáváním formálních struktur s prehistorickými a historickými modely vytvořenými zvlášť na základě externí evidence. V důsledku toho interpretace předpokládá rozsáhlý izomorfismus mezi formálními strukturami a smysluplnými strukturami modelů. Problém přechodu od formálních ke smysluplným strukturám nebyl ještě dostatečně zkoumán, ale jeho řešení pro praktické aplikace je dostatečně jasné.
1.4. EMPIRICKÉ A LATENTNÍ DIMENZE. Každý objekt deskriptivního systému si lze představit jako rozměr, který určuje polohu jednotlivých deskriptorů v n-dimenzionálním prostoru (pokud počet rozměrů je n). O takových objektech budeme mluvit jako o empirických rozměrech.
Tradiční archeologie používá empirické rozměry tak, že je srovnává po párech, tj. redukuje multidimenzionální objektový prostor na mnoho dvojdimenzionálních podprostorů. Tradičními metodami je obtížné pracovat s trojdimenzionálními prostory a je téměř nemožné studovat prostory se čtyřmi nebo více rozměry. I při užití matematických metod nemusí být vhodné uvažovat n-dimenzionální empirický prostor. Empirické objekty (nebo rozměry) bývají vzájemně závislé nebo korelované, ale korelace není tranzitivní: platnost významné korelace mezi a a b na straně jedné a b a c na straně druhé neimplikuje nic o korelaci mezi a a c. To vyvolává myšlenku nahradit empirické dimenze takovými, které jsou vzájemně nezávislé a jejichž kombinace generují všechny empirické objekty (dimenze) deskriptivního systému. Každou takovou abstraktní dimenzi [rozměr] budeme nazývat latentní dimenze, a brzo se dozvíme, která matematická teorie nám ji pomůže odhalit.
33.2. MATEMATICKÉ PRINCIPY VEKTOROVÉ SYNTÉZY
33.2.1. VEKTORY. Jakoukoliv n-tici reálných čísel (obvykle zapsanou do sloupce), která vyhovuje určitým matematickým principům - takzvaným axiomům lineárního vektorového prostoru - lze označit jako vektor. Vektory, stejně jako "jednoduchá čísla", jsou matematické objekty, na nichž lze provádět několik operací. Uvažujme dvě různé čtveřice
75 85
x= 16 a y= 29
7 4
5 6
Předpokládejme, že tyto čtveřice jsou vektory. Jejich rozměr (počet jejich prvků) je 4, stejný pro x i y.
(1) Je možné sečíst nebo odečíst vektory sečtením nebo odečtením odpovídajících párů prvků:
75 + 85 160
16 + 29 45
x+y = 7 + 4 = 11
5 + 6 11
(2)
Je možné násobit vektor x
jakýmkoliv reálným číslem a. Tato
operace je provedena, jestliže každý prvek x
se násobí a. Jestliže a = 2.5, dostaneme
187.5
40.0
ax = 17.5
12.5
Vektor se dělí číslem b, jestliže jej jednoduše násobíme převratnou hodnotou b.
(3) Lze vytvořit skalární součin dvou vektorů tak, že se vynásobí odpovídající si prvky a tyto násobky se sečtou:
(x, y) = (75*85)+(16*29)+(7*4)+(5*6) = 6897
Skalární součin dvou vektorů je "jedno číslo" neboli v matematické terminologii skalár.
Pro některé účely je praktické vyjádřit vektor prostřednictvím skaláru. Jestliže takový skalár splňuje určité přísné matematické podmínky, jmenuje se norma. Každý vektor má mnoho norem, v matematice se ovšem nejčastěji používá tzv. eukleidovská norma. Lze ji snadno vypočítat tak, že (a) každý prvek se povýší na druhou, (b) tato čísla se sečtou, a (c) výsledek se odmocní. Eukleidovskou normu lze jinak definovat jako √ (x, x), tj. jako odmocninu skalárního součinu vektoru se sebou samým. Eukleidovská norma x, často označovaná jako ║x║2, je identická s délkou vektoru, což je pojem, který nelze směšovat s rozměrem vektoru. Jednoduchým příkladem eukleidovské normy je ║x║2, v našem případě √(752 +162 + 72 + 52)= 77.17
K normalizaci x je třeba jej dělit jeho normou. Pokud použijeme eukleidovskou normu, délka normalizovaného vektoru bude rovna přesně 1. Normalizované vektory lze snadno porovnávat mezi sebou podobně jako procenta.
33.2.2. ARCHEOLOGICKÝ VÝZNAM VEKTORŮ. Předpokládejme, že prvky x a y jsou míry dvou různých spon:
|
|
spona 12-2 |
spona 12-4 |
|
délka spony |
75 |
85 |
|
výška spony |
16 |
29 |
|
maximální průměr nožky |
7 |
4 |
|
maximální průměr vinutí |
5 |
6 |
Čísla v prvním sloupci jsou prvky x, v druhém sloupci prvky y. Oba sloupce jsou vektory, které popisují archeologické objekty. Násobek ax kde a=2 představuje sponu, která je přesně dvakrát větší než spona 12-2, x+y je spona svou formou nejpodobnější x i y. Normalizovaný vektor x/║x║2 vyjadřuje množinu spon s identickými poměry mezi sledovanými rozměry, tj. množinu spon identické formy. Skalární součin normalizovaných vektorů x a y je obzvlášť důležitý, neboť měří podobnost mezi formami těchto dvou spon. Jestliže formy jsou identické, odpovídající prvky dvou normalizovaných vektorů budou tytéž a hodnota skalárního součinu bude maximální, tj. 1. Čím budou formy méně podobné, tím bude hodnota skalárního součinu menší. Vzhledem k normalizaci, se ovšem abstrahuje od absolutních hodnot měření.
33.2.3. VEKTOROVÝ PROSTOR. O dvou vektorech se řekne, že jsou lineárně závislé, jestliže existují reálná čísla a a b (která nejsou obě současně rovna nule) taková, že platí následující rovnice:
ax + by = 0
( 0 je vektor sestávající ze samých nul). Pomocí obvyklých pravidel pro zacházení s rovnicemi lze tuto podmínku transformovat na
x = cy
kde c = b / a. Jak už víme z předchozích odstavců, skalární součin (x, cy) se rovná jedné pouze když platí první rovnice tohoto odstavce. Jestliže v případě jiné dvojice vektorů u a v platí, že (u, v) je menší než 1, říká se o nich, že jsou lineárně nezávislé. V některých případech (u ,v) = 0, což znamená, že tyto dva vektory jsou nejen nezávislé, nýbrž také ortogonální.
Podobné podmínky platí pro více než dva vektory. Při ax + by + cz = 0 jsou vektory x, y, z lineárně závislé (pokud se a, b, c všechny nerovnají nule). Z této rovnice vyplývá například
x = (- b/a) y - (c/a) z
což říká, že vektor x lze vyjádřit pomocí dvou zbývajících vektorů y a z , jestliže oba násobíme nějakým skalárem. Pak se říká, že x je lineární kombinací y a z. Podobně lze kterýkoliv vektor považovat za lineární kombinaci jiných vektorů.
Zavedeme teď další
matematický pojem. Vektorový prostor (dimenze n)
je množina vektorů (dimenze n),
které splňují určité axiomy. Jakýkoliv lineární vektorový prostor je
lineární kombinací vektorů takzvané báze. Vektor x
(srov. odst. 2.1) je jedním z vektorů prostoru popisujícího spony
charakterizované čtyřmi rozměry. Tento prostor má jednoduchou bázi
1
0 0
0
0
1 0
0
0
0 1
0
0
0 0
1
protože x
lze vyjádřit následujícím způsobem:
75
1
0
0
0
16
0
1
0
0
7 =
75*
0 +
16* 0
+ 7*
1
+ 5*
0
5
0
0
0
1
Vektory této báze jsou lineárně nezávislé; nadto platí, že skalární
součin každého páru vektorů se rovná 0, takže jsou vzájemně ortogonální.
Báze nějakého vektorového prostoru není jedinečná; je jich mnoho a některé
z nich jsou ortogonální. Počet vektorů báze je vždycky menší nebo rovný
n jestliže prostor má dimenzi n.
Počet vektorů báze nějaké matice, která vyjadřuje vektorový
prostor, se nazývá hodnost (matice). Oproti bázi je hodnost jedinečná pro
kteroukoliv danou matici.
33.2.4. ARCHEOLOGICKÝ VÝZNAM
VEKTOROVÉHO PROSTORU. Uvažujme množinu archeologických objektů, řekněme
typů spon, a množinu archeologických deskriptorů takových jako jsou hroby.
Každý z typů spon lze považovat za vektor, jehož prvky jsou jedničky a
nuly podle toho, zda ho určitý hrob obsahoval nebo ne. Teto popis lze zapsat
například ve formě následující tabulky:
|
|
typ spony |
|||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
n |
|
|
hrob |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
1 |
|
2 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
|
|
3 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
|
|
4 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
0 |
|
Jestliže vypustíme záhlaví
(první dva sloupce a první dvě řádky), dostaneme matici, jejíž sloupce
jsou vektory vektorového prostoru dimenze m*n.
Tato matice bude mít bázi sestávající nejvýše z m vektorů. Počet vektorů báze ovšem závisí na hodnosti matice
a obvykle bude značně menší než m.
Vektory báze jsou v principu abstraktní kombinace typů spon a může se jim
dostat nějakého významu (chronologického, pohlavního a jiného). Nehledě
na jejich interpretaci je lze označit jako latentní dimenze nebo struktury
obsažené v archeologickém prostoru.
Nyní uvažujme všechny možné páry skalárních součinů všech
vektorů (tj. všech typů spon). Lze je uspořádat do matice s n
řadami a n sloupci; bude čtvercová a symetrická typu, který se obvykle
nazývá incidenční matice. Bude obsahovat všechnu informaci o lineárních závislostech
v původním vektorovém prostoru. Je proto možné studovat tuto odvozenou
matici místo původní a získat srovnatelné výsledky. Taková substituce má
mnoho výhod, neboť se čtvercovými symetrickými maticemi se snadno pracuje.
Podobně můžeme jako první krok normalizovat vektory v původní
matici a vypočítat skalární součiny jako druhý krok. Místo incidenční
matice n*n dostaneme nějakou matici
podobností.
Konečně je možné (a) odečíst od každého vektoru původní matice
vektor konstaních čísel, (b) normalizovat výsledek a (c) vypočítat všechny
páry skalárních součinů. Výsledkem bude to, co statistici nazývají
korelační maticí.
Ačkoliv budeme užívat některé pojmy, které vypadají jako
statistické (například korelace), naše metoda přesto zůstane algebraická a
nedotčená mnoha omezeními, která uvádějí statistici. To je důležitý
poznatek, neboť se nemusíme starat o takové problémy jako zda rozdělení je
normální, symmetrické, šikmé apod., tj. o problémy, které někteří
kolegové zbytečně považují za podstatné.
33.2.5. VEKTOROVÁ SYNTÉZA.
Princip vektorové syntézy se nyní stává jasným. Sestává z reprezentace
archeologických objektů prostřednictvím vektorů (čímž se archeologický
prostor stává vektorovým prostorem) a z nalezení ortogonální báze
vektorového prostoru; prvky této báze jsou latentní dimenze neboli struktury
archeologického prostoru.
Všechny objekty archeologického prostoru budou representovány lineárními
kombinacemi vektorů ortogonální báze. Lze se ptát, proč se má hledat
ortogonální báze. Odpověď je jednoduchá: archeologické objekty jsou vzájemně
korelovány nebo "podobné" a každý je ovlivněn - v různé míře
- celou řadou základních nekorelovaných faktorů. Ortogonální báze sestává
z takových nekorelovaných faktorů a právě z tohoto důvodu musí být
preferována.
Většina matematiků shledává nešikovnou práci s původní maticí,
jejíž rozměr je m*n. Preferuje se
proto nepřímý přístup přes nějakou matici podobností nebo korelací,
zejména když taková matice obsahuje v podstatě tutéž informaci. Musíme ovšem
poznamenat, že informace není identická, neboť normalizace (nebo posun a následující
normalizace v případě korelací) ji může podstatně změnit. Lze ovšem dokázat,
že všechny typy diskutovaných matic budou mít stejnou hodnost a z toho důvodu
stejný počet latentních dimenzí nebo struktur, a to bez ohledu na to, zda
zvolíme přímý nebo nepřímý přístup.
33.3. NUMERICKÁ
IMPLEMENTACE VEKTOROVÉ SYNTÉZY
Vektorovou analýzu a
syntézu lze realizovat mnoha způsoby, které mají všechny společné to, že
i pro malé problémy je nutno použít počítač.
Nejlépe známé metody jsou faktorová analýza, analýza hlavních
komponent, analýza hlavních souřadnic nebo nemetrické multidimensionální
škálování. Nejjednodušší a nejlépe definovaná z matematického hlediska
je analýza hlavních komponent, kterou jsem aplikoval na případ Jenišova Újezda.
Ke konkrétním výpočtům jsem použil program PRINC2, který jsem
napsal v programovacím jazyce FORTRAN IV. Všechny části programu byly napsány
na základě matematických algoritmů a po dokončení srovnány s podobnými
programy, které byly k dispozici v hotové formě ve výpočetních střediscích
(většinou na magnetické pásce). Experimentoval jsem také s jinými druhy
vektorové syntézy, zejména s klasickým modelem faktorové analýzy, ale
nakonec jsem je opustil z celé řady důvodů, hlavně teoretické povahy.
Kompletní analýzu a syntézu lze pojmout v pěti krocích. První dva,
deskripce a výpočet korelací, jsou analytické. Samotná syntéza sestává
ze tří kroků (2, 3 a 4), zatímco další krok zviditelňuje výsledky a připravuje
je pro interpretaci.
33.3.1. KROK
0. Skutečný
začátek vektorové analýzy a syntézy je deskriptivní systém. Sestává z
množiny objektů (které nelze směšovat s objekty terénní archeologie), množiny
deskriptorů a množiny zobrazení mezi objekty a deskriptory.. Jestliže připojíme
množinu všech reálných čísel (R) , můžeme definovat funkci s hodnotami v
této množině R, zatímco argumenty representují všechny seřazené páry
typu (deskriptor, objekt). Jakákoliv taková funkce je ve skutečnosti zobrazením
z množiny kartézských součinů mezi objekty a deskriptory do množiny reálných
čísel R. To vede k dobře známé tabulce (nebo matici D), kde objekty, tj.
typy ornamentů, jsou representovány sloupci a deskriptory, tj. hroby, řádky;
buňka dij obsahuje reálné číslo, které například vyjadřuje,
kolikrát j-tý typ ornamentu se vyskytl v i-tém hrobě. Buňka dij může
ovšem obsahovat jednoduše 0 nebo 1 pokud je objekt dichotomický (nepřítomný
nebo přítomný v hrobě). V jiných případech, kde objekty jsou měřitelné,
například u délky hrobu, buňka dij bude obsahovat číslo, které
odpovídá délce i-tého hrobu.
V tomto článku se nebude zabývat nominálními objekty, neboť jejich
zahrnutí činí vektorový prostor definovaný objekty (sloupci matice D)
nelineárním. V praxi ovšem naše metody fungují docela dobře i v případě,
že je připojeno několik málo párů nominálních objektů. Jejich zahrnutí
však musí být zamítnuto z hlediska matematické teorie. Jestliže jsme je
zahrnuli, jednoduše to znamenalo naši slabost v konfrontaci s požadavky
archeologa.
Protože jsem popsanou metodu pojal jako čistě algebraickou,
neznepokojoval jsem se zahrnutím všech typů reálných čísel do jedné
matice D a nepoužil jsem žádné transformace, abych odstranil šikmost proměnných
apod. Rád bych se dozvěděl, jak takové transformace ovlivní výsledky výpočtů
v praxi. Z hlediska lineární algebry nemůže být proti takovým transformacím
námitek.
33.3.2. KROK
1.
Pokud je dána matice D, většina archeologů se domnívá, že analýza
začíná tímto krokem. Sestává z výpočtu obvyklých korelačních
koeficientů mezi všemi páry objektů (sloupci matice D). Jestliže počet
objektů je n, je výsledkem čtvercová
symetrická matice C. Má n řádek,
n sloupců a jednotky na diagonále; buňka cij obsahuje korelaci
mezi i-tým a j-tým objektem, řekněme mezi i-tým a j-tým typem ozdoby.
Výpočet matice C znamená normalizaci vektorů a v důsledku toho se v
tomto kroku ztrácí veškerá informace o absolutních délkách vektorů. To
je nevyhnutelné, jestliže se má aplikovat nějaký nepřímý přístup. I
kdybychom v kroku 1 použili nějaká čísla jiná než korelace, absolutní
hodnoty by se nutně ztratily v kroku 2.
Jak je známo, absolutní hodnota korelačního koeficientu nemůže přesáhnout
jednotku.
33.3.3 KROK
2. V kroku 2
nacházíme ortogonální bázi korelační matice C, kterou jsme předtím získali
v kroku 1. Toho lze dosáhnout jednou z mnoha numerických metod, které má k
dispozici numerická matematika. Použil jsem takzvanou mocninovou metodu, která
umožňuje vypočítat omezený počet vektorů báze s možností přímé
kontroly jejich přesnosti.
Vektory báze získané tímto způsobem se nazývají latentní vektory
(vlastní vektory). Jsou normalizované, tj. jejich eukleidovská délka se rovná
1. Kromě vlastních vektorů společně s každým vektorem dostaneme zároveň
reálné číslo, které se nazývá vlastní číslo. Vlastní čísla korelační
matice jsou kladná čísla v intervalu od 0 do n (jestliže C je řádu n).
Jejich součet je vždy roven n,
neboli součtu všech diagonálních prvků C. Vlastní čísla mají významnou
úlohu při vyjádření sloupců korelační matice jako lineárních kombinací
vlastních vektorů. To je však otázka, kterou zde nemůžeme vysvětlit aniž
bychom zavedli více matematiky.
Dále získáme takzvané faktory tím, že každý vlastní vektor upravíme
tak, aby se jeho délka rovnala jeho vlastnímu číslu. To se dá snadno provést,
když každý vlastní vektor násobíme druhou odmocninou jeho vlastního čísla.
"Faktor", který dostaneme tímto postupem, nesmí být identifikován
s faktorem "faktorové analýzy"; je to jen označení pro všechny
podobné objekty bez ohledu na to, kterou metodu vektorové syntézy použijeme.
Jestliže k vlastních čísel
se rovná nule, matematická hodnost korelační matice je n-k.
Velmi často existuje řada velmi malých vlastních čísel, řekněme menších
než 1.0; ty způsobí, že příspěvek odpovídajících vlastních vektorů
ke korelační matici (prostřednictvím lineárních kombinací) bude rovněž
velmi malý. Předpokládejme, že počet takových velmi malých vlastních čísel
je r. Přibližná hodnost korelační
matice pak bude m-n-k-r. Takto
dostaneme počet faktorů, které je třeba uvažovat v následujících krocích vektorové syntézy: je rovný přibližné
hodnosti korelační matice. Věří se, že zbývajících r faktorů vyjadřuje "šum" v korelační matici,
tj. náhodné fluktuace hodnot jednotlivých korelací.
Problém volby "správného" počtu faktorů, což je hlavní
úkol v kroku 2, může být nesnadný. V některých případech,
které jsou obvykle reprodukovány v učebnicích různých metod vektorové
syntézy, existuje omezený počet velkých vlastních čísel, která tvoří
masivní skupinu následovanou jasným "skokem" k řadě velmi
malých vlastních čísel. Příkladem tohoto druhu jsou spony z Jenišova
Újezda uváděné později v tomto článku. V mnoha případech je
ovšem určení "přibližné hodnosti" korelační matice obtížné,
protože vlastní čísla se zmenšují bez nějakého výrazného skoku.
Statistikové, kteří pracují v této oblasti,
vyvinuli metody pro řešení tohoto problému, avšak výsledky často
nejsou ve shodě s logikou věci. Otázka určení správného počtu
faktorů proto zůstává delikátní, a někdy ji nelze zodpovědět bez vyzkoušení
několika možných řešení a "výběru" nejlepšího z nich na
základě nematematického posouzení. Důsledek nesprávné volby přesného počtu
faktorů není na štěstí tragický. Ačkoliv rozhodnutí v kroku 2
opravdu ovlivňuje výpočty v kroku 3 a 4, rozdíly mezi řešeními v 5 a
6 faktorech nejsou podstatné s výjimkou samotného 6. faktoru.
33.3.4. KROK
3. Zatímco
vlastní čísla matice jsou jedinečná, není tomu tak s vlastními
vektory; hodnoty jejich prvků záleží na pořadí řad a sloupců výchozí
korelační matice. Při změně pořadí objektů dostaneme v důsledku
toho odlišné vlastní vektory odpovídající těmže vlastním číslům a ovšem
také odlišné faktory. Z tohoto důvodu jsou operace v kroku 3 nutné:
matice faktorů získaných v kroku 2 musí být transformována, aby se
dostaly výsledky srovnatelné s těmi, k němž dojdeme z jakékoliv
jiné výchozí konfigurace objektů. Transformace se provádí algoritmem, který
se nazývá ortogonální rotace; po jeho aplikaci vzdálenosti mezi objekty
faktoru (měřené v multidimenzionálním prostoru) se nemění, ale jak
samy faktory, tak i odpovídající vlastní vektory získávají nové hodnoty.
Algoritmus ortogonálních rotací se odvozuje z postulátů tzv.
jednoduché struktury. Základní myšlenkou je dosáhnout maximálního množství
rozložitelných podmatic uvnitř faktorové matice nebo, jednodušeji,
transformovat prvky jednotlivých faktorů tak, aby se jejich maximální počet
blížil buď nule nebo jedničce a vzdálenosti byly přitom zachovány. Jedním
z algoritmů, který to dovede, jsou rotace metodou Varimax, které byly
použity v našem programu.
Zatímco nerotované faktory, které vyplývají z kroku 2 dosti často
nemají žádnou archeologickou interpretaci, u rotovaných faktorů se dá na základě
mnoha příkladů dokázat, že jsou to rozměry interpretovatelné jako významuplné
archeologické struktury.
Abychom ukázali příklad toho, jak celá tato teorie vypadá v praxi, vypůjčili jsme si malou faktorovou matici z učebnice faktorové analýzy:
|
|
nerotované
faktory |
rotované
faktory |
komunality |
||
|
1 |
2 |
1 |
2 |
||
|
typ 1 |
.56 |
.81 |
.02 |
.99 |
.99 |
|
typ 2 |
.77 |
-.54 |
.94 |
-.01 |
.89 |
|
typ 3 |
.67 |
.73 |
.14 |
.98 |
.98 |
|
typ 4 |
.93 |
-.10 |
.82 |
.45 |
.88 |
|
typ 5 |
.79 |
-.58 |
.97 |
-.01 |
.94 |
|
vlastní číslo |
2.67 |
1.80 |
2.52 |
2.15 |
4.87 |
Ačkoliv původně
znamenala něco úplně jiného, dáme jí archeologickou interpretaci.
Předpokládejme, že nerotované faktory jsou získány z matice
korelací mezi pěti typy ozdob. První dvě vlastní čísla byla 2.87
a 1.80, což nechává 0.33 pro zbývající tři faktory: je to skutečně
výrazný skok. Na základě toho, co jsme řekli v souvislosti s krokem
2, je zřejmé, že je třeba uvažovat dva faktory. Rotace Varimax změnila
podstatně prvky faktorové matice, tzv. "faktorové zátěže": jak
se dalo očekávat, nejméně 7 z 10 faktorových zátěží jsou [v absolutní
hodnotě] velmi blízké buď 1 nebo 0. Jen jedna faktorová zátěž (typ 4,
faktor 2) je v intervalu mezi nimi. Je nutno poznamenat, že součet čtverců
faktorových zátěží počítaný po sloupcích ("vlastní čísla")
se podstatně změnil, zatímco součet čtverců zátěží počítaný v řádkách
(tzv. komunality) se nezměnily vůbec.
Je zřejmé, že existují
dva soubory osobních ozdob: typy č. 2, 4 a 5 (faktor 1) patří prvnímu
souboru, zatímco typy 1 a 3 (a v určité míře také typ 4) jsou
charakteristické pro druhý. Bude nyní na externí evidenci určit, jaké to
jsou rozdíly. Může se např.
docela dobře ukázat, že typy 2 a 5 se nachází výlučně v hrobech žen,
zatímco typy 1 a 3 jsou spojeny s kostrami mužů; typ 4 je spíše
femininí než maskuliní, ale nikoliv ve stejné míře jako ostatní typy.
V našem případě jsou oba rotované faktory monopolární, což
znamená, že mají vysoké faktorové zátěže výlučně na jednom pólu
faktoru, v obou případech na kladném pólu. Na rozdíl od toho je
nerotovaný faktor 2 typicky bipolární: má vysoké faktorové zátěže jak
na kladném tak i na záporném pólu. Mnoho reálných archeologických faktorů
je bipolárních.
33.3.5. KROK
4. Až
doposud jsme sledovali struktury v prostoru objektů deskriptivního systému.
To vyvolává otázku, zda něco podobného lze rozeznat také v prostoru
deskriptorů. Odpověď je kladná: lze použít matici faktorových zátěží
získanou v kroku 3 a potřebné řešení vypočítat pomocí lineární
regrese. Prvky řešení budou opět uspořádány do matice s počtem řádek
rovných počtu deskriptorů, kde každý sloupec bude odpovídat jednomu
faktoru. Matice obsahuje tzv. faktorová skóre, která na rozdíl od faktorových
koeficientů a faktorových zátěží mohou nabývat hodnoty jakýchkoliv reálných
čísel. Pokud korelační matice splňuje alespoň přibližně určité
statistické podmínky, což se stává velmi často, přibližně dvě třetiny
faktorových skóre leží v intervalu od -1 do +1, a asi 95% skóre v intervalu
od -2 do +2. Skóre s absolutní hodnotou větší než 3 budou velmi vzácná.
Faktorová skóre jsou normalizována tak, že průměr každého sloupce
je nula a odpovídající střední čtverec prvků, jejich směrodatná
odchylka, se rovná jedné. Všechny sloupce matice jsou ortogonální, tj. skalární
součin každého páru je roven 0.
Každá řádka matice faktorových skóre S zcela přirozeně obsahuje
jeden prvek (řekněme sij), jehož absolutní hodnota přesahuje
ostatní. Ten se nazývá dominantní faktorové skóre (deskriptoru i
pro faktor j) . Znamená to, že j-tý
faktor je pro i-tý deskriptor
nejcharakterističtější.
Faktorová skóre jsou mimořádně užitečná, neboť zavádějí
strukturu do prostoru deskriptorů a vytvářejí její vztah ke struktuře
prostoru objektů. Tímto způsobem dostáváme současně řešení jak objekty
tak i deskriptory.
33.3.6. KROK
5. Výsledky
faktorové syntéza může být někdy obtížné pochopit pro velký počet různých
čísel. Je tomu tak obzvláště tehdy, když se uvažuje více než dominantní
faktorová zátěž a dominantní faktorové skóre. V tomto okamžiku může
pomoci grafické znázornění.
Jednou z metod, které vyjadřují výsledky graficky, je dvojdimenzionální
graf. Za souřadnice v rovině se vezmou faktorové zátěže nějakého
objektu; zátěže faktoru 1 se nanesou na jednu ortogonální osu, zátěže
faktoru 2 na druhou. Každý objekt tak bude reprezentován jako bod. Podobný
graf lze konstruovat tak, že místo zátěží použijeme faktorová skóre. To
je snadné v případě dvou faktorů. Pro tři a více faktorů počet
dvojdimenzionálních grafů roste, neboť každý faktor se musí vynést s každým
zbývajícím. V takovém případě se grafické znázornění stává příliš
neobratné k tomu, aby bylo skutečně užitečné.
Existuje jiný způsob grafického znázornění, které může mít určité
výhody v případě několika faktorů. Spočívá v tom, že jednotlivé
objekty (nebo deskriptory) pojmeme jako body v multidimenzionálním prostoru a
nalezneme mezi nimi minimální spojení. Tím, že aplikujeme algoritmus pro
minimální spojení, což je problém z teorie grafů, dostaneme souvislý
graf, jehož hrany jsou vybrány tak, aby součet vzdáleností mezi body byl
minimální. Dva objekty (deskriptory), které jsou k sobě v prostoru latentních
dimenzí nejblíže, budou v důsledku
toho reprezentovány vrcholy spojenými hranou (přičemž se předpokládá
souvislost a stromová struktura grafu). Tato metoda je jasně lepší než ta,
kterou jsem popsal dříve, kdy jsem vzdálenosti mezi objekt\ (nebo
deskriptory) počítal na základě empirických dimenzí.
Tento druhý typ grafické reprezentace výsledků vektorové syntézy
bude hojně používán v tomto článku; podrobnosti lze najít v příslušných
kapitolách.
33.3.7. PROBLÉM
OBJEKTIVNOSTI. Často se tvrdí, že matematické metody jsou plně objektivní
a neovlivněny archeologickými úvahami. Ukážeme, že toto tvrzení je nepřesné.
Především, na počátku kroku 0 musíme vybrat soubor objektů a
deskriptorů. Tento výběr nemůže zůstat neovlivněn našimi předchozími
znalostmi o problému a výsledky, kterých chceme dosáhnout. To je hlavní
bod, jímž archeologické úvahy vstupují do matematické metody. Později musíme
vybrat jeden z matematických algoritmům, což je opět ovlivněno cíly
studia. Pokud např. provádíme seriaci, předpokládáme, že výhradní nebo
převažující typ variabilty v deskriptivním systému je chronologický.
Vektorová syntéza není ovšem takovým předpokladem zatížena,, neboť se připouští
jakýkoliv druh variability. Jak už jsem vysvětlil, algoritmus obsahuje několik
bodů, v nichž musí být zvoleny určité kritické hodnoty. To je zejména případ
počtu faktorů, ale také případ faktorových zátěží a faktorových skóre:
zde opět musíme učinit delikátní rozhodnutí o tom, které hodnoty budeme
považovat za významné a které nikoliv. Neexistuje žádná plně objektivní
metoda pro toto rozhodnutí.
Přes tyto obtíže jsou přece matematické metody jasně lepší než
tradiční přístup v tom, že počet subjektivních vstupů je silně omezen a
body, kde k němu dochází, jsou přesně známy.
Existují metody, nediskutované v tomto článku,, které podstatně
redukují subjektivní úsudky. Lze např. ukázat, že s rostoucím počtem
objektů a deskriptorů deskriptivního systému dostaneme stabilnější řešení.
Zdá se, že je určitá hranice, po jejímž překročení se už výsledky
nebudou podstatně měnit. To ovšem platí pouze v případě, že výběr
objektů a deskriptorů je náhodný. Je také možné podstatně potlačit
"šum" v datech tak, že se zařadí více deskriptorů a tím, že
budeme brát do úvahy pouze nejlepší archeologická pozorování. Toho lze
ale obtížně dosáhnout v případě jednoho pohřebiště prozkoumaného před
sto léty.
33.4. PROBLÉMY JENIŠOVA
ÚJEZDA
Výsledky, dosažené prostřednictvím metod popsaných poněkud detailněji
v předchozích paragrafech, budou diskutovány v řadě "problémů",
které se většinou liší deskriptivními systémy, tj. v kroku 0 vektorové
syntézy.
"Problémy" by měly přispět k zodpovězení třech typů otázek:
typologie artefaktů, chronologie naleziště a sociální struktura pravěké
společnosti, která pohřbívala své mrtvé v Jenišově Újezdě. Mnoha otázek
se nedotkneme. Není to proto, že bychom je nepovažovali za důležité,
nýbrž hlavně proto, že jsme neměli pohotově data, abychom provedli
výpočty, nebo proto, že jsme nebyli schopni dokončit analýzy včas tak, aby
byly zahrnuty do tohoto svazku.
33.4.1. PROBLÉM 1
(SPONY). Jde o typický problém budování typologie objektivními prostředky.
Tato práce byla provedena zejména proto, že jsem považoval za nevhodné
zabudovat intuitivní archeologické typy získané tradičními metodami
do deskriptivního systému, jímž měly začít komplikované
matematické výpočty.
Jak uvidíme později, výsledky problému 1 ukázaly, že variabilita
spon byla v rámci použitého deskriptivního systému většinou (nebo výlučně)
chronologická. To ovšem nebylo možno vědět předem, a ve skutečnosti jsem
doufal, že vyjde také rozlišení
podle pohlaví nebo nějakého
společenského postavení.
33.4.1.1. VEKTOROVÁ
ANALÝZA A SYNTÉZA PROBLÉMU 1
Krok 0. Objekty
deskriptivního systému se dělily do tří skupin. První (č.1 až 14) byly
dichotomické, druhá skupina (č. 15 až 19) byly kardinální a třetí (č.
20 až 22) byly poměry vypočítané ze tří kardinálních. Objekty byly následující:
Soubor deskriptorů sestával
z 94 spon nalezených v Jenišově Újezdě a splňujících podmínku, že
jednotlivé objekty deskriptivního systému mají být na sponách přímo
pozorovatelné nebo jejich rekonstrukce má být víceméně jistá. Přinejmenším
v některých případech lze mít pochybnosti, zda druhá podmínka byla splněna.
Deskriptivní zobrazení zde není reprodukováno, neboť vyplývá z
Waldhauserova článku.
Prostor objektů není striktně lineární, neboť č.4 (obloukovitý lučík)
a č.7 (vlnitý lučík) jsou dva stavy jedné nominální proměnné (tj.
objektu v naší terminologii). Stejnou námitku by bylo možno vyslovit proti
č.10 (kulovitý prvek) a 12 (diskovitý prvek), ačkoliv tato otázka není
zcela jasná. Bezesmyslná korelace mezi č.4 a 7 je -0.230, což je poněkud nad
5% hladinou významnosti, avšak nikoliv dostatečně k tomu, aby to podstatně
ovlivnilo další výpočty. Totéž platí ještě více pro korelaci mezi č.10
a 12, která má hodnotu -0.146 (nevýznamná na hladině 5%). V důsledku toho
zahrnutí několika málo nominálních proměnných, jakkoliv opovrženíhodné
z teoretického hlediska, nemůže žádným hmatatelným způsobem nepříznivě
ovlivnit výsledky.
Nejmenší četnost dichotomického objekt je 5 (vnitřní tětiva), nejvyšší
je 61 (železná spona), avšak 12 ze 14 dichotomických proměnných mělo
absolutní četnost větší nebo rovnou 9, což je přijatelné z hlediska našich
zkušeností v jiných případech.
Krok 1. Z matice dat získané
v kroku 0 byly vypočítány obvyklé korelační koeficienty Bravais-Persona.
Asi 42% nediagonálních prvků korelační matice překračovalo kritickou
hodnotu pro 5% hladinu významnosti. Sloupce odpovídající kardinálním proměnným
a poměrům obsahovaly podstatně větší díl vysokých korelací a tudíž
ovlivnily konečné řešení více než dichotomické objekty. Tento efekt by
bylo možné odstranit, ale rozhodl jsem se neintervenovat před tím, než získáme
se "smíšenými" maticemi více zkušeností.
Krok 2. Bylo vypočítáno prvních 15 vlastních čísel korelační matice (tab 2):
Mezi vlastním číslem
6 a 7 je jasný skok. Současně s tím je vlastní číslo 6 poslední, které
je větší než 1.0 a zahrnuje více než 5% celkového rozptylu. Tím plní všechny
tři kritéria, která se nejčastěji považují za rozhodující pro výběr
"pravého" počtu faktorů. V
tomto zvláštním případě by bylo nemožné vybrat jiný počet faktorů než
6. Když sečteme vlastní čísla, vysvětlují ovšem dohromady jen 65% celkové
variability obsažené v korelační matici. Množství šumu v matici je tudíž
velké, což je pravděpodobně způsobeno malým počtem objektů.
Krok 3 a 4. Faktory byly
rotovány do jednoduché struktury metodou Varimax a faktorová skóre vypočítána
standardním způsobem. Každá spona měla dominantní skóre ve vztahu k
jednomu faktoru. Rozborem těchto dominantních skóre jsem dostali 12 různých
skupin spon; některé z nich ovšem sestávaly jen z několika kusů. Na druhé
straně některé spony měly skóre téměř stejně vysoká jako skóre
dominantní ve vztahu k několika faktorům a ty jsme později použili v problému
6.
Informace vyplývající z kroků 3 a 4
byly shrnuty do tabulek 3 až 8. Větší skupiny, nebo typy, které se
skládají z nejméně pěti spon jsou následující:
(1)
typ +1/6 (15 kusů): velké
spony s velkými závity vyrobené výlučně ze železa. Většina z nich má
nožku s vývalky, která je jejich jediným výrazným dichotomickým atributem
(tab.
3)
(2)
typ -1/6 (6 kusů): spony v každém
ohledu malé a vyrobené výlučně z bronzu. Jediný výrazný dichotomický příznak
je vlnitý lučík, zatímco reliefní výzdoba na patce je vzácná ale přítomná
(tab.
3)
(3)
typ +2/6 (6 kusů): malé spony
vyrobené většinou z bronzu. Často mají vlnitý lučík, spatulovitý konec
patky a vyráženou výzdobu (tab.
4)
(4)
typ -2/6 (12 kusů): spony střední
velikosti s krátkým zachycovačem, většinou vyrobené ze železa. Klenutý
lučík a diskovitý prvek na patce jsou typické (tab.
4)
(5)
typ +3/6 (11 kusů): spony střední
velikosti s mnoha velkými závity. Vlnitý lučík je je doprovázen velkým
kulovitým prvkem často reliefně zdobeným (tab.
5)
(6)
typ +4/6 (7 kusů): dosti malé
spony s malými závity. Lučík je žebrovaný, zachycovač zdobený (obvykle
vyrážením), patka má občas diskovitý prvek. Všech 7 kusů je z bronzu (tab.
6).
(7)
typ -4/6 (5 kusů)
: středně velké železné spony bez diagnostických dichotomickým
atributů (tab.
6)
(8)
typ +5/6 (12 kusů): malé
spony z bronzu nebo ze železa s vlnitým listovitým lučíkem a spatulovitým
koncem patky. Vyrážená výzdoba je typická (tab.
7)
(9)
typ -5/6 (10 kusů): středně
velké spony vyrobené většinou ze železa. Jediným rozlišujícím
dichotomickým atributem je lučík s vývalky (tab.
8)
Charakteristiky
devíti typů spon uvedené výše velice připomínají velmi jednoduchou tradiční
(intuitivní) typologii. Jsou to ovšem jenom stručná vyjádření informace
obsažené ve faktorovém řešení. Není to slovní popis, nýbrž odpovídající
faktorové zátěže a faktorová skóre, co definuje jednak typy (soubory
objektů), jednak subjekty typů (soubory spon).
Krok 5. Faktorové skóre
byla použita jako latentní dimenze pro výpočet grafu minimálního spojení
mezi jednotlivými sponami (obr. 19 a obr. 20). V tomto případě byla použita
všechna faktorová skóre pro každou sponu, nikoliv jen dominantní hodnoty. Z
porovnání grafu s odpovídajícími dominantními skóty vyplývá, že se
navzájem silně podmiňují; spony se stejnými dominantními skóry obvykle
vytvářejí na obr.19 souvislé podgrafy. Na tomto základě je také možno
najít "nejbližšího příbuzného" pro spony, které nebyly zařazeny
do žádného z 9 typů pro svoji malou četnost. Spony -3/6 tak jasně vytváří
část typu +1/6. Typy -1/6 a +2/6 jsou na grafu promíseny, což se zdá odpovídat
jejich podobné slovní charakteristice, kterou jsme podali v předchozí části.
Pro ty archeology, kteří preferují kresby před slovy a číslicemi,
graf minimálního spojení byl přetvořen na obr. 20, kde čísla jednotlivých
spon byla nahrazena jejich kresbami. Na první pohled lze pozorovat, že použitá
metoda opravdu klade podobné s podobným. Obr. 20
lze také použít k porovnání našich typů s externí evidencí, která
nebyla součástí našeho deskriptivního systému. Taková porovnání necháme
čtenáři jako cvičení.
33.4.1.2. INTERPRETACE
PROBLÉMU 1. Nejdříve jsme se snažili
srovnat typy spon získané vektorovou syntézou s externí evidencí dodanou
fyzickými antropology, tj. s pohlavím a věkem koster, s nimiž byly pohřbeny,
avšak nedostali jsme žádné pozitivní výsledky. Variace ve formách spon je
jasně jiné povahy.
Dále jsme provedli srovnání s Waldhauserovým tradičním datováním,
které jsme použili stejně jako jiné druhy externí evidence. Výsledky jsou
na obr. 19. Z tohoto srovnání zřejmě vyplynulo, že hlavní část
variability spon je určena časem. Nejdříve se budeme zabývat případy, kdy
koincidence našich typů s tradiční datováním je nejmarkantnější. Náš
typ -2/6 odpovídá výlučně laténu B1; navíc skupina spon -2/6, která tvoří
na obr. 19 jeden podgraf, je výlučně B1a, zatímco druhý podgraf je většinou
B1a/b. Náš typ +4/6 je převážně B1b/c nebo B1c. Typ +3/6 odpovídá
Waldhauserově B2, zatímco typy -1/6 a +2/6 jsou výlučně C1a. Existují tři
třídy, u nichž není možné žádné přesnější rozlišení: typ +1/6 (a
-3/6) se tradičně datuje buď jako B2 nebo C1 a náš typ +5/6 je na tom ještě
hůře: jedna spona je B1 a zbytek je B2 nebo C1. Typ -6/6 je všeobecně B1.
Tyto výsledky jsou lichotivé jak pro Waldhausera tak i pro naši
metodu. Nedošlo k přesné korespondenci, ale celkový obraz je jasně v obou případech
stejný. Jestliže by Waldhauser byl blíže ke skutečnosti, bylo by to asi
proto, že jeho základ byl mnohem širší než samotný Jenišův Újezd. Naše
"realističtější" výsledky mají ovšem stejnou šanci být lepší
než Waldhauserovy. To by pak vyplývalo z faktu, že jsme byli oproštěni od
kumulativní chyby, která je obvykle spojena s problémy mnohokrát analyzovanými
mnoha archeology, kteří jsou vzájemně dobře informováni o své práci.
Ať je tomu jakkoliv, je zajímavé, jaké množství informace lze našimi
metodami extrahovat z velmi omezeného deskriptivního systému.
33.4.2. PROBLÉM 2
(KRUHOVÝ ŠPERK). Vektorová syntéza spon z Jenišova Újezda
byla v současné sérii provedena
jako první. Vyvolala náš velký optimizmus při rekonstrukci chronologických
typů uvnitř tříd pravěkých objektů. Problém 2 nám udělil lekci: skutečnost
může být velmi komplikovaná, jestliže začnou působit faktory jiné než
chronologie.
33.4.2.1. VEKTOROVÁ
ANALÝZA A SYNTÉZA PROBLÉMU 2. KROK 0. Soubor objektů sestával ze 17 prvků.
12 jich bylo dichotomických a 5 kardinálních:
Soubor
deskriptorů sestával ze 122 kruhů nalezených v Jenišově Újezdě (náramky,
nápažníky, nánožníky) a 2 kruhů nalezených v hrobě v Bystřanech a připojených
pro srovnání. Počet kruhových ozdob se zdá být dosti velký, ale je nutno
mít na zřeteli, že velmi často pár náramků nebo nánožníků z hrobu je
tvořen téměř identickými exempláři, což velmi omezuje počet vzájemně
různých kruhů.
Byly zahrnuty nejméně dva páry, každý tvořený dvěma stavy téže
nominální proměnné (č. 7, 8 a 5. 11), ale existují i jiné páry, které
mají prakticky stejný statut (č. 4 a 5), i když z čistě teoretického
hlediska jsou dichotomické.
KROK 1. Korelační
matice obsahuje pouze 28% koeficientů významných na hladině 5%. Nadto velmi
málo z nich leží v podmatici tvořené dichotomickými objekty. To znamená,
že následující vektorová syntéza je téměř úplně určena podmnožinou
kardinálních objektů.
KROK 2.
Mezi vlastními čísly 5 a 6 je skutečně velký krok (skok, srov. tab.
9), neboť prvních pěr faktorů zodpovídá téměř za dvě třetiny celkové
variability obsažené v korelační matici. To byl důvod, proč jsme se
rozhodli uvažovat pět faktorů jako správný počet.
KROK 3. Následující
objektové struktury (skupiny atributů) byly vygenerovány počítačem ( čísla
v závorkách jsou faktorové zátěže):
(1)
Skupina +1/5 (8 kruhů): tlouštka
v řezu (0.954), duté polokoule (0.954), šířka v řezu (0.944) a maximální
průměr konců (0.507).
(2)
Skupina +2/5 (18 kruhů): délka
(0.874), výška (0.872), vyrážené kroužky (0.298), žebra (0.287)
(3)
Skupina -5/5 (23 kruhů): malá
délka a výška (srov. +2/5), růžičkovité výčnělky (-0.333).
(4)
Skupina +3/5 (6 kruhů): rytí
nebo zářezy (0.384), spoje "rukáv a čep" (0.313).
(5)
Skupina -3/5 (15 kruhů): lineární
reliefní výzdoba (-0.727), žebra (-0.656), maximální průměr konců
(-0.619).
(6)
Skupina +4/5 (17 kruhů): uzavřený
kruh (0.818), plátovaný drát (0.302),možná růžičkovité výčnělky
(0.235).
(7)
Skupina -4/5 (6 kruhů):
bronzový drát (-0.779), spojení "rukáv a čep" (-0.329), rytí a zářezy
(-0.291), možná žebra (-0.220).
(8)
Skupina +5/5 (14 kruhů):
segmenty (0.737), vyražené kroužky (0.646), profilovaný průřez (0.600),
rytí nebo zářezy (0. 270).
(9)
Skupina -5/5 (15 kruhů): plátovaný
drát (-0.304), spojení "rukáv a čep" (-0.279).
Skupina -1/5 byla rozlišující
pouze pro dva kruhy a není zde uváděna jako samostatné struktura. Vzniká otázka,
jak nevýznamné korelace dichotomických objektů mohly vytvořit tolik
struktur, které se alespoň v některých případech zdají dávat smysl.
KROK 4. Pro každý kus
kruhového šperku byla vypočítána faktorová skóre. Jednotlivé kusy z párů
náramků nebo nánožníků nalezených v jednom hrobě velmi často ukázaly
identická nebo velmi podobná skóre, což je vzhledem k jejich podobnosti
pochopitelné. V mnoha případech měla jedna kruhová ozdoba vysoká skóre na
několik faktorů.
KROK 5. Graf minimálního
spojení (obr. 21) seřadil kruhy podle jejich podobnosti v prostoru vypočtených
latentních dimenzí (faktorových skóre). Obr. 21 ukazuje, že poloha většiny
jednotlivých položek v grafu je určena jejich dominantními faktorovými skóre.
33.4.2.2. INTERPRETACE
PROBLÉMU 2. Jako první krok jsme zkoušeli naše skupiny porovnávat s externí
evidencí dodanou fyzickými antropology. S pohlavím koster nebyla shledána žádná
korelace, což je pochopitelné, neboť kruhové ozdoby jsou většinou spojeny
s hroby žen, nikoliv mužů. Existuje však významná korelace mezi naší
skupinou -2/5 a kostrami,
které byly identifikovány jako dětské.
Druhý druh použité externí evidence se vztahoval k funkci kruhů
(obr. 22). Pouhým prohléhnutím [dokumentace] bylo možno určit, že
(1)
skupina +1/5 sestává plně z
nánožníků;
(2)
skupina +2/5 sestává téměř
výlučně z nánožníků a nápažníků;
(3)
skupina +5/5 obsahovala pouze
jeden nánožník, zbytek byly náramky;
(4)
skupina -3/5 byla směsí náramků
a nánožníků;
(5)
skupina +4/5 měla dosti velký
podíl nápažníků, avšak žádné nánožníky.
Ačkoliv korelace mezi
funkcí a našimi skupina kruhového šperku není tak úzká, jak by být
mohla, je přece jen zřejmé, že funkce byla hlavním determinantem našich
skupin.
Rovněž jsme porovnali výsledky vektorové syntézy s Waldhauserovou
chronologií, ale úspěch se mozil na skupinu +1/5, která patří období latén
C1. Pokud ovšem uvažujeme všechna skóre větší než 1 (nikoliv jen
dominantní), většina faktorů se zdá vyjadřovat rovněž časovou souřadnici.
Tuto otázku budeme detailněji diskutovat jako problém 6.
Jestliže sumarizujeme interpretaci prostřednictvím externí evidence,
můžeme uzavřít, že variabilita kruhových ozdob je určena jejich funkcí,
věkem jejich konzumentů a chronologií. Deskriptivní systém, který jsme použili,
není možná adekvátní k tomu, aby odhalil všechny struktury skryté v kruzích.
33.4.3.
PROBLÉM 3 (NÁRAMKY)
Protože jsme nebyli plně spokojeni s výsledky problému 2, zkusili jsme
extrahovat z kruhových šperků tolik informace, jak jen bylo možné. Náramky,
nápažníky a nánožníky byly proto anylyzovány zvlášť; nebylo k tomu ovšem
možno vypracovávat nový deskriptivní systém. Použili jsme tentýž systém
jako v problému 2 s několika málo modifikacemi: duté polokoule byly vynechány
a soubor deskriptorů sestával pouze ze 78 náramků. Studium vlastních čísel
korelační matice indikovalo 4 faktory. Nebudu detailně popisovat získané
latentní struktury, protože jsme nebyli schopni pro ně najít smysluplné
vysvětlení.
Vyskytla se však jedna výjimka: náramky typu -4/4, charakterizované malými
rozměry (výška, délka, tlouštka), růžičkovitými výčnělky, a použitím
bronzového drátu. To je víceméně tentýž soubor příznaků jako pro
skupinu -2/5 v problému 2. V plném souladu s touto skupinou byly náramky typu
-4/4 významně spojeny s kostrami
dětí: 7 z 12 kusů bylo nalezeno v dětských hrobech a jen jeden v hrobě, jehož
kostra byla klasifikována fyzickými antropology jako zbytek dospělé ženy.
33.4.4.
PROBLÉM 4 (NÁPAŽNÍKY)
Podobné důvody, které
nás vedly k problému 3, stály u počátku problému 4. Byla to úplná
vektorová syntéza 15 nápažníků. Zatímco jsme podrželi všechny kardinální
objekty vytvořené pro problém 2, mohly být převzaty pouze dva dichotomické
objekty (uzavřený kruh a bronzový drát), protože jejich zbytek měl příliš
malé četnosti než aby byl použitelný. Výsledkem byl deskriptivní systém
se 7 objekty a 15 deskriptory [srov. Komentář],
což je skutečně velmi špatná výchozí konfigurace.
První tři vlastní čísla korelační matice byla vysoká a dohromady
zahrnovala více než 97% celkové variability. Zvolili jsme proto 3 faktory.
(1)
Skupina +1/3 (1 kruh) byl
charakterizován tlouštkou těla nápažníku a jeho konců.
(2)
Skupina -2/3 (3 kruhy) byla tvořena
nápažníky malými v každém ohledu.
(3)
Skupina +3/3 (5 kruhů) sestáva
z nápažníků ve tvaru uzavřeného kruhu, a
(4)
skupina -3/3 (6 kruhů) byla
typicky vyrobena z bronzového drátu.
Graf minimálního spojení vypočítaný na základě faktorových skóre
(obr. 23) vytvářel linii nápažníků z hrobů s dětskými kostrami. To je
pravděpodobně maximum informace, kterou lze extrahovat z tak špatného popisného
systému.
33.4.5. PROBLÉM 5 (NÁNOŽNÍKY)
Nánožníků, které
byly uvažovány v problému 5, bylo 31. Popisný systém byl opět odvozen
z problému 2; kromě pěti kardinálních objektů byly zařazeny čtyři
dichotomické (žebra, duté polokoule, bronzový drát a vyrážené kroužky).
První dvě vlastní čísla korelační matice byla vysoká (4.512 a
1.960) a byla následovány nepříliš výrazným skokem ke třetímu vlastnímu
číslu s hodnotou 1.009. Přesto byly první dva faktory, které vysvětlovaly
72% celkové variability, považovány za dostačující pro tak chudý
deskriptivní systém.
Výsledkem byly čtyři skupiny nebo typy (srov. obr. 24):
(1)
skupinu +1/2 (8 kusů) tvořily
nánožníky s dutými polokoulemi, které všechny patří Waldhauserově
laténu C1 nabo přechodu od B2 k C1.
(2)
Skupina -1/2 (13 kusů) sestávala
z nánožníků vyrobených z bronzového drátu a zdobených buď žebra
nebo vyráženými kroužky. Všechny jsou datovány do Waldhauserova laténu B,
žádný do C.
(3)
Skupina +2/2 (6 kusů): nánožníky
charakterizované délkou, výškou a velkým průměrem konců. Čtyři patří
laténu B2, dva C1a, ale žádný laténu B1.
(4)
Skupina -2/2 (4 kusy ze 2 hrobů):
nánožníky malých rozměrů. Všechny patří Waldhauserove bázi B2; jeden z hrobů
obsahoval dětkou kostru, druhý údajně kostru dospělé ženy.
Interpretace je v tomto
případě jasná: variabilita obsažená v nánožnících je podmíněna
jak chronologií, tak věkem. Avšak nánožníky, podobně jako jiné kruhové
ozdoby, neměří čas se stejnou přesností
jako spony. To platí přinejmenším v rámci našeho deskriptivního systému
použitého v naší vektorové syntéze.
33.4.6. PROBLÉM 6
(59 HROBŮ)
Jelikož
výsledky problému 1 a 2 se zdály obsahovat mnoho chronologické
informace, pokusili jsme se je použít jako východisko pro další výpočty.
Pro tento účel jsme ovšem nemohli podržet celý soubor hrobů.
33.4.6.1. VEKTOROVÁ
ANALÝZA A SYNTÉZA PROBLÉMU 6
KROK 0. Soubor objektů
sestával ze spon typu +1/6 až -6/6 a kruhových šperků typů +1/5 až -5/5
(kruhy -2/5) byly vyloučeny pro jejich malou četnost). Svoje úvahy jsme
neomezili na diagnostická faktorová skóre, ale zahrnuli jsme všechna ta,
která dosahovala absolutní hodnoty alespoň 1. V důsledku toho jakýkoliv
deskriptor (tj. hrob) mohl popisovat několik objektů (typů spon nebo kruhů)
i když obsahoval jen jednu sponu nebo jeden kruh. Na druhé straně všechny
hroby obsahující alespoň dva objekty deskriptivního systému byly vedeny
jako deskriptory; celkově jich bylo 59.
KROK 1. Korelační
matice obsahovala 16% nediagonálních prvků významných na hladině 5%. Není
to mnoho, ale není to neobvyklé v případě matic, kde všechny objekty
jsou dichotomické.
KROK 2. Jako obvykle
bylo vypočítáno prvních 15 vlastních čísel a výrazný skok se objevil
mezi vlastními čísly 4 a 5. Faktory 1 až 4 byly zodpovědny jen za 43%
celkové variability, avšak vzhledem k malému počtu významných
koeficientů se to zdálo být dostačující pro výběr 4 faktorů.
Jiný skok mohl být mezi vlastními čísla 8 a 9. Řešení v 8 faktorech, když jsme
se o něj pokusili, se objevilo jako interpretačně neschůdné a bylo proto
odloženo. Je to příklad toho, jak subjektivní posouzení uvnitř matematického
algoritmu může ovlivnit výsledek. Uchýlili jsme se k redukci počtu
faktorů hlavně proto, že může být méně nebezpečné ztratit významnou
strukturu než zahrnout struktury, které neodráží více než "šum"
v korelační matici.
KROKY 3, 4 a 5. Rotovaná
faktorová matice a matice faktorových skóre byla vypočítána obvyklým způsobem.
Tab.
10 ukazuje, jak objekty (typy spon a kruhových ozdob) byly rozděleny do osmi
skupin generovaných počítačem. Ačkoliv četnosti jsou dosti nízké, zdá
se být přítomen vysoký stupeň shlukování. Obr. 25 ukazuje graf minimálního
spojení pro všech 59 hrobů.
33.4.6.2. SERIACE PROBLÉMU
6
Použili jsme stejný seriační algoritmus, jaký poposal Hodson ve svém
příspěvku do tohoto svazku. Program, nazvaný BAF, byl napsán ve Fortranu IV
a odladěn na počítači IBM 360/370. Chtěli jsme najít nějakou seriaci založenou
na typech spon a kruhových ozdobách generovaných předtím našimi programy (cf.
problémy 1 a 2) a výsledky porovnat jednak s Waldhauserovou tradiční
chronologií a Hodsonovou seriací intuitivních typů. Směr plynutí času byl
určen na základě předchozích znalostí laténské kultury; nejhořejší
hroby na obr. 29 by měly být nejmladší.
Bylo prozkoumáno 20 pokusů, každý založený na pseudonáhodné výchozí
konfiguraci, a byl vybrán "nejlepší". Následující nejlepší řešení
se významně nelišilo od toho, které je zobrazeno na obr. 29. Sloupce na pravé
straně ukazují pro srovnání řešení vektorové syntézy části 4.2.1.,
stejně jako Waldhauserovy a Hodsonovy závěry.
33.4.6.3. INTERPRETACE
PROBLÉMU 6. Srovnání výsledků vektorové syntézy s Waldhauserovou
chronologií ukazuje, že naše hrobová skupina +4/4 patří výlučně fázi
B1, zatímco skupina -1/4 obsahuje hlavně hroby fáze B1 s několika málo
pozdějšími hroby. Skupina +2/4 je klasifikována buď jako B1 nebo B2,
skupina -4/4 je téměř výlučně B2, zatímco C1 převažuje mezi hroby naší
skupiny +1/4. Pouze na tomto základě se zdá, že tyto skupiny skutečně
vyjadřují časovou variabilitu, ale ta nemusí být identická s tradičními
fázemi.
Z naší seriace (srov. obr. 29) je vidět, že skupina +4/4
generovaná vektorovou syntézou je nejstarší a je následována skupinami
-1/4, +2/4 a -3/4. Skupina +3/4 zaujímá střed, zatímco skupiny -4/4 a +1/4
jsou pozdní. Určitě není nezajímavé, že hroby skupiny +1/4 odpovídají
Waldhauserově fázi C1, zatímco skupina -4/4 je většinou B2b. To může
naznačovat, že vektorová syntéza je ve skutečnosti k časovým rozdílům
citlivější než seriace, v níž hroby skupiny -4/4 jsou jenom mírně
posunuty dolů a se skupinou +1/4 se rozsáhle překrývají (srov. obr. 29).
Podobně se skupiny -1/4 a +4/4 překrývají na druhém konci serie, avšak
jejich komplementární rozšíření na plánku pohřebiště (srov. obr. 26)
opět naznačuje nesoučasnost.
Srovnání naší seriace s Waldhauserovým datováním jednotlivých
hrobů je víceméně uspokojující. Obecně vzato, hroby se sekvenčním číslem
1 až 25 jsou buď B2b nebo C1, sekvenční čísla 26 až 43 se pohybují mezi
B1b a B2a, zatímco zbytek je převážně B1a. Nejznepokojivější neshoda je
asi hrob 109, který je podle naší seriaci velmi časný, ale velmi mladý
podle Waldhausera; vypadá spíše jako chyba naší metody.
Je překvapující, že shoda s Hodsonovou seriací není dobrá, ačkoliv
by to měla být objektivnější varianta Waldhauserova datování. Spearmanův
korelační koeficient mezi naším a Hodsonovým řešením není významný na
hladině 5% (i když není daleko od kritické hodnoty). To může naznačovat,
vedle jiných věcí, že Waldhauser použil pro svoje datování více informací
než kolik jich poskytl Hodsonovi k výpočtům. V mnoha případech
ovšem tito dva autoři souhlasí navzájem lépe než se mnou.
Netvrdíme, že naše seriace vyjadřuje časové změny lépe než kterákoliv
z druhých dvou chronologií. Tento kritický postoj vyplývá hlavně z
faktu, že jsme použili typy kruhového šperku, které - vedle času - odrážejí
také rozdíly ve věku pohřbených a funkci kruhů. Rozložení hrobových
skupin na pohřebišti (obr. 26) nás přece ale nutí věřit, že naše
seriace je v základě zdravá, ačkoliv nezařazuje každý jednotlivý hrob do
správné chronologické pozice.
Jestliže naši seriaci zkombinujeme s řešením vektorové syntézy, můžeme
navrhnout následující chronologii naleziště (nebo spíše 59 hrobů
analyzovaných v problému 6):
|
(1)
|
fáze I |
hroby skupiny +4/4 |
|
(2)
|
fáze II |
hroby skupiny -1/4 |
|
(3)
|
fáze III |
hroby skupiny +2/4 |
|
(4)
|
fáze IV |
hroby skupiny -3/4 |
|
(5)
|
fáze V |
hroby skupiny +3/4 |
|
(6)
|
fáze VI |
hroby skupiny -4/4 |
|
(7)
|
fáze VII |
hroby skupiny +1/4 |
V pojmech tradiční chronologie fáze I by odpovídala B1a, fáze II
B1b/c, fáze III B1b/c-B2a, fáze VI B2b, a fáze VII C1a.* Není to
možná náhoda, že jsme schopni rozpoznat asi 7 fází, zatímco Waldhauser,
který pracoval tradičními metodami, jich rozpoznal 6 - tedy srovnatelný počet.
*
Je obtížné vysvětlit fáze IV a V, avšak nezdají se být umělými
produkty naší metody, alespoň ne ve všech ohledech.
33.4.7. PROBLÉM 7
(POHŘEBNÍ SOUBORY)
Doposud jsme se snažili
dostat chronologii, nebo chronologii prostřednictvím typologie. Několikrát
jsme ovšem objevili variabilitu, jejíž povaha zjevně nebyla chronologická.
Problém 7 byl zaměřen na to, aby učinil další krok v tomto směru.
33.4.7.1. VEKTOROVÁ
ANALÝZA A SYNTÉZA PROBLÉMU 7
KROK 0. Deskriptivní
systém byl zaměřen na vyjádření rozdílů spíše v sociálním než v
chronologickém rozměru. Z tohoto důvodu jsme nezahrnuli typy (s jedinou výjimkou
objektu č.20), nýbrž spíše různé třídy artefaktů. Také jsme se
pokusili zjistit, zda umístění artefaktů v hrobě mělo nějaký smysl v
sociální sféře.
Soubor objektů deskriptivního systému se skládal z následujících
prvků:
Řadu dalších objektů
jsme nezahrnuli většinou kvůli nízkým četnostem (méně než pět výskytů).
Počet výskytů dichotomických objektů (položky 1 až 20) je v pěti případech
menší než 10. Není to ideální ale přece přijatelné zejména proto, že
mezi nízkými a vysokými četnostmi nejsou velké rozdíly.
Soubor hrobů použitých v problému 7 jako deskriptory lze získat z
obr. 27; jejich celkový počet je 120. Snažili jsme se zahrnout pokud možno
největší počet hrobů, avšak vyřadili jsme všechny hroby, kde chyběl více
než jeden ze tří hlavních rozměrů (č. 21, 22, 23). Některé z hrobů
nebyly úplné, což ovšem může do určité míry ovlivnit výsledky vektorové
syntézy. Jejich vyřazení by na druhé straně znamenalo, že by se ztratila
cenná informace. Podrobný popis spolehlivosti výbavy jednotlivých hrobů a míra
jejich kompletnosti je podána ve Waldhauserově příspěvku do tohoto svazku.
Tento pramen také obsahuje zobrazení mezi souborem objektů a deskriptorů, a
z tohoto důvodu zde tuto informaci nereprodukujeme.
KROK 1. Z deskriptivní
matice byly vypočítány obvyklé Bravais-Pearsonovy korelace. Asi 42% nediagonálních
prvků matice bylo statisticky významných na hladině významnosti 5%. Z nich
jen 31% bylo v podmatici dichotomických objektů, což znamená, že kardinální
objekty ovlivnily konečné řešení více než objekty dichotomické.
KROK 2. Prvních 15
vlastních vektorů korelační matice je uvedeno na tab.
11. Mezi vlastními čísly 5 a
6 je výrazný skok, a páté
vlastní číslo je také poslední,, jehož hodnota je vyšší než 5% sumy
(tj. v tomto případě 27). Prvních 5 vlastních čísel ovšem dohromady vysvětluje
jen asi 58% variability korelační matice, což není příliš mnoho. Další
skok v sekvenci vlastních čísel se zdá ležet mezi číslem 8 a 9. Ačkoliv
8 faktorů by vysvětlilo dalších 13% variability, zdá se to být
problematický postup vzhledem k tomu, že výpočet 9. faktoru neskončil přirozeně
a byl přerušen po arbitrárně zvolených 100 iteracích. V důsledku toho
hodnota 9. vlastního čísla není přesně známa. Podle naší zkušenosti se
skok zdá být často tam, kde se dosáhne předem určeného limitu počtu
iterací (nutná podmínka k ukončení výpočtu). Tyto úvahy nás vedly ke
zvolení 5 faktorů.
KROKY 3 A 4. Faktorové
zátěže a faktorová skóre byly vypočítány standardním způsobem. Tabulky
12 až 16 umožňují pohled na výsledky, které lze stručněji vyjádřit
takto:
(1)
Soubor +1/5: hroby středních
rozměrů bohatě vybavené všemi druhy osobních ozdob, zvláště bronzových.
V jednom hrobě jsou v průměru přibližně 2 spony a 2 náramky, nánožníky
a pasové zápony jsou běžné. Spony byly téměř vždy nalezeny na krku. Tab.
12.
(2)
Soubor -1/5: hroby středních
rozměrů s dosti krátkými kostrami (1.51 m na rozdíl od 1.79 m pro dospělé
muže 1.62 až 1.65 pro ženy), jednou železnou sponou buď na prsou nebo na
jednom rameni, a příležitostně s mečem (ve dvou hrobech). Tab.
12.
(3)
Soubor +2/5: velmi dlouhé
hroby s extrémně dlouhými kostrami. Zbraně jsou běžné (hroty kopí, meče,
štíty) stejně jako pasové zápony. Je zde poměrně málo spon (většinou
železných) obvykle na pravém rameni. Dva hroby obsahovaly kruhový šperk, v
obou případech náramky na levé ruce, ale nebyly nalezeny
žádné nápažníky nebo nánožníky. Tab.
13.
(4)
Soubor +3/5: hroby středních
rozměrů s kostrami průměrné délky. Typický hrob měl dvě železné spony
(většinou na krku nebo na rameni), ale kruhové ozdoby se neobjevovaly často
s výjimkou náramků na levé ruce. Nápažníky, nánožníky a zápony byly
vzácné, zbraně chyběly. Tab.
14.
(5)
Soubor -3/5: hroby byly průměrně
dlouhé (se značnou variabilitou), s žádnou nebo velmi chudou výbavou. Pouze
jeden z 23 hrobů obsahoval sponu (hrob č.1, o jehož spojení se souborem -3/5
lze pochybovat i z jiných důvodů), avšak kruhové ozdoby, zejména nápažníky,
se nezdají úplně chybět. Vyskytl se jeden hrot kopí, jeden meč a jeden nánožník.
Tab.
14.
(6)
Soubor +4/5: hroby průměrné
velikosti obsahovaly kostry průměrné délky. Jeden hrob v průměru obsahoval
asi 3 spony a 3 kruhové ozdoby, přičemž nápažníky a nánožníky byly
nejběžnější. Nápažníky byly
často z lignitu, spony byly obvykle nalezeny buť na levém rameni nebo v
oblasti břicha. V mnoha hrobech byly zápony. Nevyskytovaly se zbraně. Tab.
15.
(7)
Soubor -4/5: hroby byly menší
a kostry kratší než průměr a výbava chudá: téměř každý hrob
obsahoval jedinou železnou sponu na krku a vyskytly se 4 náramky, všechny na
levé ruce. Tab.
15.
(8)
Soubor +5/5: hroby byly velmi
malé a kostry krátké. Vyskytovalo se mnoho železných spon, jejich přednostní
poloha byla levé rameno nebo krk, a mnoho kruhových ozdob, z nichž více než
jednu třetinu tvoří náramky typu -4/4. Nápažníky byly rovněž běžné,
avšak pasová zápona byla nalezena jen v jednom hrobě a nánožník ani
jednou. Žádné zbraně. Tab.
16.
(9)
Soubor -5/5: neobyčejně velké
hroby s dlouhými kostrami. V každém hrobě byla obvykle jedna železná
spona, nejčastěji na krku. Tento soubor necharakterizuje žádný kruhový šperk,
avšak byl nalezen jeden meč a jeden hrot kopí. Tab.
16.
KROK 5. Graf minimálního
spojení je na obr. 27. Každý kruh, odpovídající jednomu hrobu, obsahuje
rovněž číslo, které udává jeho dominantní faktorové skóre. Každý z 9
souborů, které jsme uvedli, vytváří jeden souvislý podgraf; isolované
prvky jsou vzácné. Zde je opět možno vidět, že rozložení hrobů v
multidimenzionálním prostoru je určeno hlavně dominantním faktorovým skóre.
33.4.7.2. INTERPRETACE
PROBLÉMU 7. Antropologické určení věku a pohlaví koster, uvedené v
tabulce
17, jsme použili jako první typ externí
evidence. Zde bychom měli připojit několik málo poznámek k problému
antropologických určení v Jenišově Újezdě. Většina těch, kdo jsou za ně
zodpovědní, musela být ovlivněna svými znalostmi archeologických faktů. I
před mnoha desítiletími bylo každému bez jakékoliv matematiky jasné, že
hroby bohaté na ozdoby patří ženám a hroby se zbraněmi mužům.
Neschopnost antropologů dojít k bezpečnějším výsledkům právě v
případě pohřebních souborů -1/5 a -4/5 může souviset s faktem, že
obsahovaly chudý archeologický inventář. Podobně platí, že nezvykle malé
hroby budou spojovány s dětmi bez odkazu na nějakou archeologickou teorii
nebo antropologická měření. Není naším úkolem diskutovat profesionální
kompetenci jednotlivých antropologů, ale máme podezření, že přinejmenším
v některých případech nebyla adekvátní.
Statistiky v tab.
17 jsou výsledky
testu významnosti rozdílu mezi dvěma relativními čísly (s arkussinovou
transformací). Významné hodnoty, které přesahují kritickou hodnotu (která
je 1.96 pro hladinu významnosti 5%), jsou podtrženy.
Důležitým dodatečným dokladem o věku zemřelých (který je už ovšem
obsažen v deskriptivním systému) je délka koster (tab.
17, poslední
sloupec). Zdá se, že existují čtyři třídy hrobů podle průměrných
hodnot této proměnné:
(1)
průměrná délka od 1.76 do
1.79 m (soubory -5/5 a +2/5). V této
třídě jasně převažují hroby dospělých mužů.
(2)
Průměrná délka 1.61, 1.62,
1.64 a 1.65 m (soubory -3/5, +4/5, +3/5 a +1/5). S výjimkou souboru -3/5 jsou pravidlem kostry dospělých žen.
(3)
Průměrná délka 1.51 a 1.54
m (soubory -1/5 a -4/5). Zatímco soubor -1/5 je významně spojen s muži, v případě
souboru -4/5 nejsou dostačující antropologické doklady.
(4)
Průměrná délka koster 1.19
m (soubor +5/5, který je významně spojen s dětmi).
Možná námitka, že rozdíly mezi průměrnými délkami koster nejsou
statisticky významné, byla testována analýzou rozptylu (srov. Rao 1973,
244). Výsledky zobrazené v tab.
18 ukazují,
že rozdíly, vzaté jako celek, jsou na hladině 5% vysoce významné: vypočítaná
statistika F je mnohem větší než odpovídající kritická hodnota. Spodní
část tabulky 18 ukazuje, které rozdíly mezi páry průměrných délek jsou
významné. Případ tříd 1 a 4 je jasný, ale rozdíl mezi třídami 2 a 3
není vždy přísně významný na hladině 5%. Když se však testovací
hladina jen poněkud málo zvedne, rozdíly se stanou významnými pro všechny třídy.
Zatímco interpretace tříd 1, 2 a 4 (s výjimkou souboru -3/5) je sotva
zpochybnitelná, třída 3 se nezdá být vysvětlitelná na základě samotného
Jenišova Újezda. Na první pohled by se zdálo, že obsahuje hroby mladistvých
osob, kterým se ještě nedostalo obvyklých atributů jejich pohlaví, avšak
takové vysvětlení je poněkud otřeseno samotnou existencí hrobů třídy 4,
které jasně kryjí děti a které, pokud vůbec obsahují artefakty, jsou téměř
vždy vybaveny kruhovými ozdobami, které naznačují ženy. Na rozdíl od toho
hroby třídy 3 buď neobsahují žádné kruhy (soubor -1/5) nebo výlučně náramky
na levé ruce (soubor -4/5), což je také jediný druh kruhového šperku
nalezeného v hrobech dospělých mužů.
Když na tento problém pohlížíme z jiného úhlu - demografických úvah,
není velmi pravděpodobné, že všechny děti laténské komunity v Jenišově
Újezdě by byly pohřbívány s výbavou souboru +5/5. Kdyby tomu tak bylo,
procento dětí by bylo menší než 20,což se pro pravěkou komunitu nezdá být
dostačující množství. To nás vede k otázce, zda soubory -1/5 a -4/5 neskrývají
děti, možná mužského pohlaví. Když bychom přijali takovou domněnku, počet
dětských hrobů by se zvýšil téměř
na 30% celku, což je přijatelnější číslo. Konečné řešení této otázka
leží ovšem mimo pohřebiště Jenišův Újezd.
Podívejme se nyní na naše soubory výbavy z hlediska jiného druhu dokladů,
jejich prostorového rozdělení na pohřebišti. Jsou zřetelná dvě uskupení
(obr. 28): první, v jižní a východní části naleziště je nejvýrazněji
charakterizováno soubory -3/5 a -4/5 , zatímco výbava +4/5 a +5/5 je
diagnostická pro druhou skupinu, rozšířenou v severní a západní části.
Některé jiné soubory hrobové výbavy mají tendenci s shlukovat v jižní
polovině pohřebiště (+2/5 a -1/5), avšak soubory +1/5 a +3/5 jsou bez rozdílu
všude. Rozdílné rozložení některých pohřebních výbav může odrážet
chronologii jak se pohřbívání stěhovalo, obecně řečeno, od jihu k
severu. Ve Waldhauserově chronologickém systému většina hrobů se soubory
-3/5 a -4/5 patří fázi B1, zatímco
většina hrobů vybavených soubory +4/5 a -5/5 je klasifikována jako B2b a
C1a. Hroby +1/5 označil Waldhauser s malými výjimkami buď jako B1b nebo B2a,
což se nezdá být v uspokojivém souladu s jejich náhodným rozložením na
pohřebišti. Soubor +3/5 je ovšem rovnoměrně rozdělen mezi všechny možné
fáze užité Waldhauserem, což odpovídá jejich rovnoměrnému prostorovému
rozložení na pohřebišti.
Soubor -3/5 zaslouží zvláštní pozornost. Ačkoliv některé hroby s tímto
typem pohřební výbavy nejsou úplné a možná by padly do jiné skupiny,
kdyby byly dobře prozkoumány, přece
jen zbývá jádro chudě vybavených pohřbů. Jsem přesvědčen, že jsou to
v podstatě hroby dospělých mužů.
Když shrnujeme naši diskusi pohřebních souborů docházíme k závěru,
že existují tři soubory typické pro hroby mužů (+2/5, -3/5, -5/5), tři
soubory ženského charakteru (+1/5, +3/5, +4/5), a zbývající tři jsou možná
atributy dětí. Když toto rozdělení přijmeme a uděláme určité korekce
(hlavně u souboru -3/5), dostaneme přijatelnou demografickou strukturu: jedna
třetina mužů, jedna třetina žen a jedna třetina dětí, přičemž každá
tato skupina sestává z téměř 40 hrobů. Některé výbavy jsou časné
(-3/5, -4/5), a některé jsou pozdní (+4/5, -5/5), ale několik důležitých
pohřebních výbav není určena chronologicky (+1/5, +2/5, a zvláště +3/5).
Je zde přítomen rozdíl (nebo rozměr), který jsme si ještě neuvědomili.
Nebudeme se pokoušet vytvořit model pro interpretaci tohoto rozměru a ponecháme
to na archeolozích specializovaných na laténské období. V každém případě
je to společenské rozdělení považované pravěkými Kelty za podstatné.
Naše výpočty ukázaly, že JEDNO JEDINÉ POHŘEBIŠTĚ - Jenišův Újezd
- SAMO OBSAHUJE VELKOU ČÁST INFORMACE, JAKÁ BYLA PŘEDTÍM ZÍSKÁNA TRADIČNÍM
STUDIEM POHŘEBIŠŤ LATÉNSKÉ KULTURY V CELÉ STŘEDNÍ EVROPĚ.
Obr. 26
prokazuje, že nejstarší hroby se koncentrovaly v jihovýchodním
cípu naleziště a postupně se pohřbívání posouvalo k severu. Zdá se být
pravděpodobné, že tento směr se v pozdější fázi změnil a pohřbívání
se stěhovalo zpátky k jihu podél západního okraje. To je pravděpodobně důvod,
proč středozápadní část obsahovala značné množství hrobů, které se
navzájem porušovaly, a hroby tam měly velkou hustotu.
Mezi jednotlivými třídami artefaktů byly nejproměnlivější spony,
u nichž hlavním rozměrem změn byl čas. Kruhové ozdoby se zdají být v
tomto směru méně citlivé, ačkoliv to může být částečně způsobeno
neadekvátním deskriptivním systémem.
Základními determinanty pohřebních výbav je pohlaví a věk.
Variace v čase hrají určitou roli, ale tyto tři faktory (tj. věk, pohlaví
a čas), i vzaty dohromady, se nezdají vysvětlovat jednotlivé soubory úplně.
Existuje určitě ještě jiná společensklá příčina, jejíž přesnou
povahu nelze určit na základě jednoho pohřebiště.
Hlavní výhodou našich metod je jejich relativní objektivita (srov. část
3.7.) a fakt, že NEBYLA POUŽITA ŽÁDNÁ JINÁ INFORMACE NEŽ TA, KTEROU
OBSAHOVAL JENIŠŮV ÚJEZD. Jedinou nepřímou výjimkou v tomto směru může být
aplikace Waldhauserovy chronologie jako druh externí evidence, neboˇta není
pravděpodobně založena na jediné lokalitě.
Vzniká otázka, jak by naše výsledky byly stabilní, kdyby byly jako
vstupy do počítačových programů použity jiné deskriptivní systémy. Zde
se musíme vrátit k pojmu polytetických struktur zavedených v části 1.2. Na
základě naší zkušenosti, založené na příkladech jiných než Jenišův
Újezd, vedou rozdílné deskriptivní systémy k více nebo méně nepodobným
strukturám, ale hlavní latentní dimenze se nijak podstatně nemění, jestliže
se dosáhne určitá minimální úroveň deskripce.
Doran, J.E. a F.R.Hodson
1975: Mathematics and Computers in Archaeology. Edinbourgh.
Harman, H.H. 1967:
Modern Factor Analysis. Chicago.
Kaufmann, A. 1968:
Introduction àla combinatorique en vue des applications. Paris.
Kuroš, A.G. 1973:
Lekcii po obščej algebre.Moskva.
MacLane, S. a G.Birkhoff
1968: Algebra. New York.
Malcev, A.I. 1973:
Algebraic Systems. Berlin.
Neustupný, E. 1973a:
Jednoduchá metoda archeologické analýzy. Památky archeologické LXIV,
166-224.
Neustupný, E. 1973b:
Factors determining the variability of theč Corded Ware culture, in: Colin
Renfrew (ed.), The Explanation of Culture Change, pp-725-730.
Ralston, A. 1965: A
first course in numerical analysis. New York.
Rao, C.R. 1973: Linear
statistical inference and its application. New York.